Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала внимательно посмотрим на выражение под знаком корня: $a^{2} - 12ab + 36b^{2}$. Заметим, что оно представляет собой формулу квадрата разности: $(x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2}$.

2. Преобразуем подкоренное выражение, выделив полные квадраты:
- Первое слагаемое: $a^{2}$ — это квадрат числа $a$.
- Третье слагаемое: $36b^{2}$ — это квадрат выражения $6b$, так как $6^{2} = 36$.
- Второе слагаемое: $12ab$ — это удвоенное произведение $a$ и $6b$, то есть $2 \cdot a \cdot 6b = 12ab$.

3. Таким образом, наше выражение сворачивается в квадрат разности:
$a^{2} - 12ab + 36b^{2} = (a - 6b)^{2}$.

4. Теперь подставим это в исходный корень:
$\sqrt{a^{2} - 12ab + 36b^{2}} = \sqrt{(a - 6b)^{2}}$.

5. Вспомним важное свойство корня: $\sqrt{x^{2}} = |x|$. Корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Применим это свойство:
$\sqrt{(a - 6b)^{2}} = |a - 6b|$.

6. Подставим данные в условии значения $a = 8$ и $b = 3$ в полученное выражение с модулем:
$|8 - 6 \cdot 3| = |8 - 18| = |-10|$.

7. Так как модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, получаем:
$|-10| = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ