Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии, так как высота каждого следующего прыжка уменьшается в одно и то же количество раз.

1. Обозначим высоту первого прыжка как $b_1 = 5,6$ м.
По условию, высота каждого следующего прыжка в два раза меньше предыдущей. Это значит, что знаменатель геометрической прогрессии равен $q = \frac{1}{2} = 0,5$.

2. Нам нужно найти номер прыжка $n$, при котором высота $b_n$ станет меньше 20 см.
Сначала переведём все данные в одни единицы измерения. Переведём метры в сантиметры:
$b_1 = 5,6 \text{ м} = 560 \text{ см}$.

3. Составим неравенство по формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$560 \cdot (0,5)^{n-1} < 20$.

4. Разделим обе части неравенства на 560:
$(0,5)^{n-1} < \frac{20}{560}$
$(0,5)^{n-1} < \frac{1}{28}$.

5. Будем последовательно вычислять высоты прыжков, чтобы найти первый номер $n$, удовлетворяющий условию:
— 1-й прыжок: $560$ см;
— 2-й прыжок: $560 : 2 = 280$ см;
— 3-й прыжок: $280 : 2 = 140$ см;
— 4-й прыжок: $140 : 2 = 70$ см;
— 5-й прыжок: $70 : 2 = 35$ см;
— 6-й прыжок: $35 : 2 = 17,5$ см.

6. Мы видим, что на 6-м прыжке высота мячика составила $17,5$ см. Это первое значение, которое меньше заданного порога в 20 см.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ