Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала внимательно посмотрим на выражение под корнем: $a^{2} - 8ab + 16b^{2}$. Заметим, что оно представляет собой формулу квадрата разности: $(x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2}$.

2. Преобразуем подкоренное выражение, выделив полные квадраты:
$a^{2}$ — это квадрат числа $a$;
$16b^{2}$ — это квадрат выражения $4b$, так как $(4b)^{2} = 16b^{2}$;
$8ab$ — это удвоенное произведение первого выражения на второе: $2 \cdot a \cdot 4b = 8ab$.

3. Таким образом, наше выражение под корнем сворачивается в квадрат разности:
$a^{2} - 8ab + 16b^{2} = (a - 4b)^{2}$.

4. Теперь исходное выражение принимает вид: $\sqrt{(a - 4b)^{2}}$.
Вспомним важное свойство корня: $\sqrt{x^{2}} = |x|$. Значит, наше выражение равно модулю разности:
$|a - 4b|$.

5. Подставим в полученное выражение значения переменных $a = 4$ и $b = 3$:
$|4 - 4 \cdot 3| = |4 - 12| = |-8|$.

6. Так как модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, получаем:
$|-8| = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ