Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи вспомним свойства квадрата. У квадрата все стороны равны, а углы прямые (равны $90^{\circ}$). Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника.

1. Пусть сторона квадрата $a = 3\sqrt{2}$, а диагональ квадрата равна $d$. На рисунке мы видим, что диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат стороны квадрата.

2. Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Запишем формулу для нашего случая:
$d^2 = a^2 + a^2$
$d^2 = 2a^2$

3. Подставим известное значение стороны $a = 3\sqrt{2}$ в уравнение:
$d^2 = 2 \cdot (3\sqrt{2})^2$

4. Выполним возведение в квадрат. Помним, что при возведении произведения в степень, в эту степень возводится каждый множитель:
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

5. Теперь найдем $d^2$:
$d^2 = 2 \cdot 18 = 36$

6. Чтобы найти саму диагональ $d$, извлечем квадратный корень из полученного числа:
$d = \sqrt{36} = 6$

Полезно запомнить: Диагональ квадрата всегда в $\sqrt{2}$ раз больше его стороны. То есть $d = a\sqrt{2}$. Если применить эту формулу: $d = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ