Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним связь между квадратом и описанной около него окружностью. Центр описанной окружности квадрата лежит в точке пересечения его диагоналей. При этом радиус описанной окружности $R$ равен половине диагонали квадрата $d$. Таким образом, диагональ квадрата вычисляется по формуле:
$d = 2 \cdot R$

2. Подставим известное значение радиуса $R = 32 \sqrt{2}$ в формулу диагонали:
$d = 2 \cdot 32 \sqrt{2} = 64 \sqrt{2}$

3. Пусть сторона квадрата равна $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю. По теореме Пифагора:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = d^2$
Отсюда выразим сторону квадрата через диагональ:
$a \sqrt{2} = d$
$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$

4. Теперь подставим найденное значение диагонали $d = 64 \sqrt{2}$ в формулу для стороны:
$a = \frac{64 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

5. Сократим дробь на $\sqrt{2}$:
$a = 64$

Ответ: 64

Источник: ФИПИ