Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим прямоугольник и его свойства, чтобы найти угол между диагоналями.

1) Пусть дан прямоугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи угол между диагональю и стороной равен $65^\circ$. Пусть это будет угол $OCD = 65^\circ$.

2) Вспомним важное свойство прямоугольника: его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что отрезок $OC$ равен отрезку $OD$ ($OC = OD$).

3) Рассмотрим треугольник $COD$. Так как две его стороны равны ($OC = OD$), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно:
$\angle ODC = \angle OCD = 65^\circ$.

4) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол $COD$ при вершине этого треугольника (это один из углов между диагоналями):
$\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

5) При пересечении диагоналей образуются две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $50^\circ$, а другая пара (смежные с ними) равна $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Так как в задаче требуется найти острый угол, выбираем меньшее значение.

Угол $50^\circ$ является острым, так как он меньше $90^\circ$.

Ответ: 50

Источник: ФИПИ