Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Пусть точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Нам известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны между собой.

2) Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника и половинами диагоналей. Так как половины диагоналей равны, этот треугольник является равнобедренным.

3) По условию задачи диагональ образует с одной из сторон угол $70^\circ$. Пусть это будет угол между диагональю и большей стороной прямоугольника. Тогда в прямоугольном треугольнике (образованном двумя сторонами и диагональю) второй острый угол будет равен:
$90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$.
Этот угол в $20^\circ$ является углом при основании равнобедренного треугольника, боковыми сторонами которого являются половины диагоналей.

4) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании равны по $20^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол при вершине (это и есть угол между диагоналями):
$180^\circ - (20^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

5) Мы получили два угла между диагоналями: $140^\circ$ (тупой) и смежный с ним угол. Найдём смежный угол:
$180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

6) По условию задачи нам необходимо найти острый угол между диагоналями. Из двух полученных углов ($140^\circ$ и $40^\circ$) острым является угол $40^\circ$.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ