Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся основными свойствами степеней. Нам необходимо упростить выражение перед тем, как подставлять значения переменных.

1) Сначала преобразуем числитель. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.
Применим это к множителю с переменной $b$:
$(b^9)^2 = b^{9 \cdot 2} = b^{18}$.
Теперь числитель выглядит так: $a^{21} \cdot b^{18}$.

2) Теперь преобразуем знаменатель. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Следовательно: $(a \cdot b)^{18} = a^{18} \cdot b^{18}$.

3) Запишем всё выражение целиком с учетом преобразований:
$\frac{a^{21} \cdot b^{18}}{a^{18} \cdot b^{18}}$.

4) Мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $b^{18}$. Сократим на него дробь:
$\frac{a^{21}}{a^{18}}$.

5) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$.
Получаем: $a^{21 - 18} = a^3$.

6) Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим значение $a = 5$:
$a^3 = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Заметим, что значение $b = \sqrt{5}$ нам даже не понадобилось, так как переменная $b$ полностью сократилась в процессе упрощения.

Ответ: 125

Источник: ФИПИ