Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов в окружности.

1) Рассмотрим угол $C A D$. По условию $\angle C A D = 49^\circ$. Этот угол является вписанным и опирается на дугу $C D$. Согласно теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга $C D$ в два раза больше угла $C A D$:
$\cup C D = 2 \cdot \angle C A D = 2 \cdot 49^\circ = 98^\circ$.

2) Теперь обратим внимание на угол $C B D$. Этот угол также является вписанным и опирается на ту же самую дугу $C D$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Следовательно:
$\angle C B D = \angle C A D = 49^\circ$.

3) По условию задачи нам известен весь угол $A B C$, который равен $70^\circ$. Из рисунка видно, что луч $B D$ проходит внутри угла $A B C$, разделяя его на две части: искомый угол $A B D$ и угол $C B D$. Таким образом:
$\angle A B C = \angle A B D + \angle C B D$.

4) Выразим из этого равенства искомый угол $A B D$:
$\angle A B D = \angle A B C - \angle C B D$.
Подставим известные значения:
$\angle A B D = 70^\circ - 49^\circ = 21^\circ$.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ