Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$. Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $AC$ и $BD$ — её диаметрами. Следовательно, отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OB = OC$.

2) Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Значит, $\triangle BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OBC = \angle OCB$.

3) По условию задачи $\angle ACB = 19^{\circ}$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$, то $\angle OCB = \angle ACB = 19^{\circ}$. Следовательно, $\angle OBC = 19^{\circ}$.

4) Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Найдем угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (19^{\circ} + 19^{\circ}) = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$.

5) Углы $BOC$ и $AOD$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых (диаметров) $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов они равны между собой:
$\angle AOD = \angle BOC = 142^{\circ}$.

Ответ: 142

Источник: ФИПИ