Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольник. Обозначим его вершины буквами $A, B, C, D$, а точку пересечения диагоналей — буквой $O$. Пусть угол между диагональю $AC$ и стороной $AD$ равен $74^\circ$.

2) Вспомним важное свойство прямоугольника: его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Это значит, что отрезки $AO, BO, CO, DO$ равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

3) Рассмотрим треугольник $AOD$. Так как $AO = DO$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OAD = \angle ODA = 74^\circ$.

4) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол $AOD$ при вершине этого треугольника (это один из углов между диагоналями):
$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (74^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$.

5) Мы получили, что один из углов между диагоналями равен $32^\circ$. Так как этот угол меньше $90^\circ$, он является острым. Второй (смежный с ним) угол между диагоналями был бы равен $180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$, что является тупым углом. По условию задачи нам нужно найти именно острый угол.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ