Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $CH$ — высота равнобедренной трапеции $ABCD$, проведённая из вершины $C$ к большему основанию $AD$. По условию задачи точка $H$ делит основание $AD$ на два отрезка. Из рисунка и свойств трапеции видно, что меньший отрезок прилежит к углу $D$, а больший — к углу $A$. Таким образом, $HD = 10$ или $HD = 11$. Давайте разберемся, какой из них какой.

2. Проведём вторую высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), прямоугольные треугольники $ABK$ и $DCH$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, отрезки при вершинах углов при основании равны: $AK = HD$.

3. Фигура $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel KH$ и $BK \parallel CH$), поэтому противоположные стороны равны: $BC = KH$.

4. Основание $AD$ состоит из трёх частей: $AD = AK + KH + HD$. Учитывая равенство $AK = HD$, получаем: $AD = 2 \cdot HD + BC$.
Также из условия мы знаем, что точка $H$ делит $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$. По рисунку $AH$ — это больший отрезок, значит $AH = 11$, а $HD = 10$.
Отрезок $AH$ в свою очередь состоит из $AK$ и $KH$: $AH = AK + KH$.

5. Так как $AK = HD = 10$, мы можем найти длину $KH$, которая и равна искомому основанию $BC$:
$KH = AH - AK$
$KH = 11 - 10 = 1$.

6. Таким образом, длина меньшего основания $BC = KH = 1$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ