Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи сначала упростим алгебраическое выражение, используя свойства степеней, а затем подставим значения переменных.

1) В числителе воспользуемся правилом возведения степени в степень: при возведении степени в степень показатели перемножаются.
$(b^{6})^{3} = b^{6 \cdot 3} = b^{18}$.
Теперь числитель выглядит так: $a^{21} \cdot b^{18}$.

2) В знаменателе воспользуемся правилом возведения произведения в степень: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель.
$(a \cdot b)^{18} = a^{18} \cdot b^{18}$.

3) Запишем всё выражение целиком и сократим его:
$\frac{a^{21} \cdot b^{18}}{a^{18} \cdot b^{18}}$.
Заметим, что множитель $b^{18}$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому мы можем на него сократить. Остаётся:
$\frac{a^{21}}{a^{18}}$.

4) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:
$a^{21 - 18} = a^{3}$.

5) Мы получили максимально упрощённое выражение: $a^{3}$. Теперь подставим значение $a = 3$, данное в условии (заметим, что значение $b = \sqrt{3}$ нам даже не понадобилось, так как переменная $b$ сократилась):
$3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Ответ: 27

Источник: ФИПИ