Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами квадратного корня и степеней. Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{\frac{16 x^{4}}{y^{10}}}$.

Шаг 1. Упростим выражение под корнем.
Вспомним, что корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Применим это свойство:
$\sqrt{\frac{16 x^{4}}{y^{10}}} = \frac{\sqrt{16 x^{4}}}{\sqrt{y^{10}}}$

Шаг 2. Извлечём корень из числителя и знаменателя.
Чтобы извлечь корень из произведения, нужно извлечь корень из каждого множителя: $\sqrt{16 \cdot x^{4}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{4}}$.
Напомним, что при извлечении квадратного корня из степени показатель степени делится на 2: $\sqrt{a^{n}} = a^{n/2}$.
1) $\sqrt{16} = 4$
2) $\sqrt{x^{4}} = x^{4/2} = x^{2}$
3) $\sqrt{y^{10}} = y^{10/2} = y^{5}$
Таким образом, наше выражение принимает вид:
$\frac{4 x^{2}}{y^{5}}$

Шаг 3. Подставим числовые значения переменных.
По условию задачи $x = 8$ и $y = 2$. Подставим их в упрощённое выражение:
$\frac{4 \cdot 8^{2}}{2^{5}}$

Шаг 4. Выполним вычисления.
Возведём числа в степени:
$8^{2} = 8 \cdot 8 = 64$
$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
Теперь подставим результаты в дробь:
$\frac{4 \cdot 64}{32}$

Заметим, что $64$ делится на $32$ нацело:
$64 : 32 = 2$
Тогда выражение равно:
$4 \cdot 2 = 8$

Ответ: 8

Источник: ФИПИ