Задание №16 — Геометрия

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая устанавливает связь между стороной треугольника, противолежащим ей углом и радиусом описанной окружности.

1) Согласно расширенной теореме синусов, отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной окружности:
$\frac{AB}{\sin C} = 2R$,
где $AB$ — сторона треугольника, $\angle C$ — угол, лежащий против этой стороны, а $R$ — радиус описанной окружности.

2) Из условия задачи нам известны:
— сторона $AB = 12\sqrt{3}$;
— угол $\angle C = 60^\circ$.

3) Вспомним значение синуса для угла $60^\circ$:
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Подставим известные значения в формулу:
$2R = \frac{12\sqrt{3}}{\sin 60^\circ}$
$2R = \frac{12\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

5) Выполним деление. Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить его на дробь, обратную данной:
$2R = 12\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$
Корень из трёх ($\sqrt{3}$) в числителе и знаменателе сокращается:
$2R = 12 \cdot 2$
$2R = 24$

6) Теперь найдём радиус $R$, разделив обе части уравнения на 2:
$R = \frac{24}{2}$
$R = 12$

Ответ: 12

Источник: ФИПИ