Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что последовательность количества мест в рядах является арифметической прогрессией.

Обозначим:
$n = 23$ — общее количество рядов;
$a_7 = 26$ — количество мест в 7-м ряду;
$a_{11} = 34$ — количество мест в 11-м ряду;
$d$ — разность прогрессии (на сколько мест в каждом следующем ряду больше, чем в предыдущем);
$a_{23}$ — количество мест в последнем ряду, которое нам нужно найти.

Шаг 1. Найдем разность прогрессии $d$.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для известных членов:
$a_7 = a_1 + 6d = 26$
$a_{11} = a_1 + 10d = 34$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы исключить $a_1$:
$(a_1 + 10d) - (a_1 + 6d) = 34 - 26$
$4d = 8$
$d = 8 : 4$
$d = 2$

Значит, в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем.

Шаг 2. Найдем количество мест в последнем (23-м) ряду.
Мы можем выразить $a_{23}$ через уже известный нам 11-й ряд, чтобы не искать $a_1$:
$a_{23} = a_{11} + (23 - 11) \cdot d$
$a_{23} = a_{11} + 12d$

Подставим значения $a_{11} = 34$ и $d = 2$:
$a_{23} = 34 + 12 \cdot 2$
$a_{23} = 34 + 24$
$a_{23} = 58$

Таким образом, в последнем ряду амфитеатра 58 мест.

Ответ: 58

Источник: ФИПИ