Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

1. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника через его сторону $a$:
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.

2. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану (которая также является высотой) в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом, радиус вписанной окружности $r$ составляет одну третью часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$.

3. Подставим в полученную формулу значение стороны треугольника из условия задачи $a = 8 \sqrt{3}$:
$r = \frac{8 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6}$.

4. Выполним вычисления. Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$r = \frac{8 \cdot 3}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ