Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим свойства окружности, вписанной в трапецию. По определению, если окружность вписана в многоугольник, то она касается всех его сторон. В случае с трапецией окружность касается верхнего основания, нижнего основания и боковых сторон.

2. Проведём диаметр окружности через её центр перпендикулярно основаниям трапеции. Точки касания окружности с основаниями лежат на этом диаметре. Так как основания трапеции параллельны, а диаметр перпендикулярен им обоим, то длина этого диаметра в точности равна расстоянию между основаниями трапеции.

3. Расстояние между основаниями трапеции — это и есть её высота $h$. Таким образом, высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности.

4. Вспомним связь между радиусом $r$ и диаметром $d$ окружности: диаметр в два раза больше радиуса, то есть $d = 2 \cdot r$.

5. По условию задачи радиус вписанной окружности $r = 20$. Вычислим высоту трапеции:
$h = d = 2 \cdot r$
$h = 2 \cdot 20 = 40$.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ