Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для нахождения площади трапеции нам необходимо знать длины её оснований и высоту. По условию основания равны $a = 3$ и $b = 9$. Нам нужно найти высоту $h$.

1. Проведём две высоты из вершин верхнего основания к нижнему основанию. Обозначим трапецию как $ABCD$, где $BC = 3$ — меньшее основание, $AD = 9$ — большее основание. Проведём высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$.

2. Так как трапеция равнобедренная, отрезки $AH$ и $KD$ на большем основании равны между собой. Фигура $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 3$.

3. Найдём длину отрезка $AH$. Поскольку $AH = KD$, их сумма равна разности оснований:
$AH + KD = AD - HK = 9 - 3 = 6$.
Следовательно, $AH = 6 : 2 = 3$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нём угол $H$ прямой ($90^\circ$), а угол $A$ по условию равен $45^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит, второй острый угол $ABH$ равен:
$180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

5. Так как в треугольнике $ABH$ два угла равны ($\angle A = \angle ABH = 45^\circ$), этот треугольник является равнобедренным. Значит, его катеты равны:
$BH = AH = 3$.
Таким образом, высота трапеции $h = 3$.

6. Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$:
$S = \frac{3 + 9}{2} \cdot 3 = \frac{12}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ