Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник с вписанной в него окружностью.

1. Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника. По условию задачи $a = 14\sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника через его сторону:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

3. Подставим значение стороны в формулу высоты:
$h = \frac{14\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$h = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21$

4. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Точка пересечения медиан делит каждую медиану (которая также является высотой) в отношении $2:1$, считая от вершины.

5. Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра до стороны треугольника, то есть составляет ровно $\frac{1}{3}$ часть высоты:
$r = \frac{1}{3}h$

6. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7$

Ответ: 7

Источник: ФИПИ