Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть дана трапеция с основаниями $a = 16$ и $b = 17$. Проведена средняя линия и одна из диагоналей. Диагональ пересекает среднюю линию, разбивая её на два отрезка.

1) Вспомним определение: средняя линия трапеции параллельна основаниям и проходит через середины боковых сторон. Следовательно, точка пересечения диагонали и средней линии также является серединой этой диагонали (по теореме Фалеса).

2) Рассмотрим треугольник, образованный бóльшим основанием трапеции и её боковыми сторонами, в котором диагональ является одной из сторон. Отрезок средней линии, лежащий в этом треугольнике, является его средней линией, так как он соединяет середину боковой стороны трапеции с серединой диагонали.

3) По свойству средней линии треугольника, она параллельна основанию треугольника и равна его половине. Значит, первый отрезок средней линии трапеции равен половине нижнего основания:
$m_1 = \frac{17}{2} = 8{,}5$.

4) Аналогично рассмотрим второй треугольник, образованный меньшим основанием трапеции. Отрезок средней линии в этом треугольнике равен половине меньшего основания:
$m_2 = \frac{16}{2} = 8$.

5) Нам необходимо найти больший из этих отрезков. Сравнивая полученные значения $8{,}5$ и $8$, видим, что бóльшим является $8{,}5$.

Ответ: 8,5

Источник: ФИПИ