Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) По условию задачи центр описанной окружности треугольника $A B C$ лежит на его стороне $A B$. Это означает, что сторона $A B$ является диаметром данной окружности.

2) Вспомним важное свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Угол $C$ (или $\angle A C B$) опирается на дугу, стягиваемую диаметром $A B$, следовательно, $\angle A C B = 90^{\circ}$. Таким образом, треугольник $A B C$ — прямоугольный с гипотенузой $A B$.

3) Найдём длину гипотенузы $A B$. Так как $A B$ — диаметр, а радиус окружности $R = 20$, то:
$A B = 2 \cdot R = 2 \cdot 20 = 40$.

4) Теперь в прямоугольном треугольнике $A B C$ нам известны гипотенуза $A B = 40$ и катет $A C = 32$. Чтобы найти второй катет $B C$, воспользуемся теоремой Пифагора:
$A C^2 + B C^2 = A B^2$.

5) Подставим известные значения в формулу:
$32^2 + B C^2 = 40^2$
$1024 + B C^2 = 1600$
$B C^2 = 1600 - 1024$
$B C^2 = 576$.

6) Находим корень из полученного числа:
$B C = \sqrt{576} = 24$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ