Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и частью большего основания. На рисунке изображена высота, равная $5$, и угол при основании, равный $45^\circ$.

2) Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а один угол прямой ($90^\circ$), то второй острый угол этого треугольника равен:
$180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и отрезок большего основания от вершины угла до высоты также равен высоте, то есть $5$.

3) Проведём вторую высоту из другой вершины меньшего основания к большему основанию. Так как трапеция равнобедренная, она симметрична. Это значит, что вторая высота отсечёт с другой стороны точно такой же отрезок, равный $5$.

4) Большее основание трапеции по условию равно $15$. Оно складывается из двух равных боковых отрезков (которые мы нашли) и центральной части.
Обозначим длину центральной части как $x$. Тогда:
$5 + x + 5 = 15$.
$10 + x = 15$.
$x = 15 - 10 = 5$.

5) Центральная часть большего основания, заключённая между двумя высотами, равна меньшему основанию трапеции (так как они образуют прямоугольник). Значит, меньшее основание равно $5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ