Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию, изображённую на рисунке. Нам даны: меньшее основание $b = 7$, высота $h = 5$ и угол при большем основании $\alpha = 45^\circ$.

1) Проведём вторую высоту из другой вершины меньшего основания к большему основанию. Две высоты отсекают от большего основания прямоугольник (в центре) и два равных прямоугольных треугольника (по бокам), так как трапеция равнобедренная.

2) Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. В нём один из острых углов равен $45^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, значит, второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

3) Так как углы при основании этого треугольника равны, треугольник является равнобедренным. Следовательно, катет, лежащий на большем основании трапеции, равен высоте трапеции: $x = h = 5$.

4) Поскольку трапеция равнобедренная, второй такой же треугольник с другой стороны отсекает точно такой же отрезок $x = 5$.

5) Большее основание $a$ складывается из двух боковых отрезков $x$ и центрального отрезка, который равен меньшему основанию $b$:
$a = x + b + x$
$a = 5 + 7 + 5 = 17$

Ответ: 17

Источник: ФИПИ