Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы при центре окружности. По условию $AC$ и $BD$ — диаметры, которые пересекаются в точке $O$. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными. Как известно, вертикальные углы равны, следовательно:
$\angle BOC = \angle AOD = 124^{\circ}$.

2) Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Точки $B$ и $C$ лежат на окружности, а точка $O$ является её центром. Это значит, что отрезки $OB$ и $OC$ равны как радиусы одной и той же окружности ($OB = OC = R$).

3) Так как в треугольнике $BOC$ две стороны равны ($OB = OC$), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть:
$\angle OBC = \angle OCB$.

4) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $BOC$ запишем:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ}$.
Подставим известные значения:
$124^{\circ} + 2 \cdot \angle OCB = 180^{\circ}$.

5) Вычислим значение угла $\angle OCB$:
$2 \cdot \angle OCB = 180^{\circ} - 124^{\circ}$;
$2 \cdot \angle OCB = 56^{\circ}$;
$\angle OCB = 56^{\circ} : 2 = 28^{\circ}$.

6) Угол $\angle ACB$ — это тот же самый угол, что и $\angle OCB$, так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$. Таким образом, $\angle ACB = 28^{\circ}$.

Ответ: 28

Источник: ФИПИ