Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и формулой её площади.

1. Пусть $a = 4$ — верхнее основание трапеции, $b = 8$ — нижнее основание. Проведём две высоты из вершин верхнего основания к нижнему. Обозначим высоту через $h$.

2. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные на большее основание, отсекают от него два равных прямоугольных треугольника. Отрезок нижнего основания, лежащий между высотами, равен верхнему основанию ($4$). Тогда длина каждого из оставшихся боковых отрезков нижнего основания (пусть это будет отрезок $x$) вычисляется по формуле:
$x = \frac{b - a}{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

3. Рассмотрим один из получившихся прямоугольных треугольников. В нём один из острых углов по условию равен $45^\circ$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

4. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, а значит, его катеты равны. Один катет — это высота трапеции $h$, а второй — найденный нами отрезок $x = 2$. Таким образом, высота трапеции $h = 2$.

5. Площадь трапеции $S$ находится как произведение полусуммы оснований на высоту:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$.
Подставим известные значения:
$S = \frac{4 + 8}{2} \cdot 2 = \frac{12}{2} \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ