Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим свойства окружности, вписанной в многоугольник. По определению, если окружность вписана в трапецию, то она касается всех четырёх её сторон: верхнего основания, нижнего основания и двух боковых сторон.

2. Расстояние между параллельными прямыми, которыми являются основания трапеции, равно высоте этой трапеции. Обозначим высоту как $h$.

3. Так как окружность касается и верхнего, и нижнего оснований, то диаметр этой окружности будет в точности равен расстоянию между основаниями, то есть высоте трапеции. Это происходит потому, что точки касания на основаниях лежат на одной вертикальной линии, проходящей через центр окружности.

4. Вспомним связь между радиусом $r$ и диаметром $d$ окружности: диаметр в два раза больше радиуса.
$d = 2 \cdot r$

5. По условию задачи радиус вписанной окружности $r = 30$. Следовательно, высота трапеции $h$ равна:
$h = d = 2 \cdot 30 = 60$

Таким образом, высота трапеции равна 60.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ