Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $CH$ — высота равнобедренной трапеции $ABCD$, проведённая из вершины $C$ к большему основанию $AD$. По условию задачи высота делит основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к вершине $D$, следовательно, меньший отрезок $HD = 1$, а больший отрезок $AH = 11$.

2) Проведём вторую высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин малого основания на большое, отсекают равные прямоугольные треугольники ($\triangle ABK = \triangle DCH$ по гипотенузе и острому углу). Отсюда следует, что отрезки при вершинах большего основания равны: $AK = HD = 1$.

3) Рассмотрим отрезок $AH$. Он состоит из суммы двух отрезков: $AK$ и $KH$. Мы знаем, что $AH = 11$ и $AK = 1$. Найдём длину отрезка $KH$:
$KH = AH - AK = 11 - 1 = 10$.

4) Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel AD$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, искомое основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ