Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами углов, вписанных в окружность.

1) Рассмотрим треугольник $ANB$. По условию $AB$ является диаметром окружности. Вспомним важное свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle ANB = 90^\circ$.

2) В прямоугольном треугольнике $ANB$ нам известен острый угол $\angle NBA = 36^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Найдём угол $\angle NAB$:
$\angle NAB = 90^\circ - \angle NBA = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$.

3) Теперь обратим внимание на углы $\angle NAB$ и $\angle NMB$. Оба этих угла являются вписанными в одну и ту же окружность. Заметим, что они опираются на одну и ту же дугу — дугу $NB$.

4) Согласно теореме о вписанных углах, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Значит:
$\angle NMB = \angle NAB = 54^\circ$.

Таким образом, искомый угол равен $54^\circ$.

Ответ: 54

Источник: ФИПИ