Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы при центре окружности. По условию $AC$ и $BD$ — диаметры, которые пересекаются в точке $O$. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными. Как известно, вертикальные углы равны, следовательно:
$\angle BOC = \angle AOD = 74^\circ$.

2) Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Точки $B$ и $C$ лежат на окружности, а точка $O$ — её центр. Это значит, что отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности.
Следовательно, $OB = OC$, и треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$.

3) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит:
$\angle OBC = \angle OCB$ (или $\angle ACB$).

4) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $BOC$ запишем:
$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$.
Так как $\angle OBC = \angle OCB$, подставим известные значения:
$74^\circ + 2 \cdot \angle OCB = 180^\circ$.

5) Выразим искомый угол:
$2 \cdot \angle OCB = 180^\circ - 74^\circ$;
$2 \cdot \angle OCB = 106^\circ$;
$\angle OCB = 106^\circ : 2 = 53^\circ$.

Угол $\angle OCB$ — это тот же самый угол $\angle ACB$, который нам нужно найти.

Ответ: 53

Источник: ФИПИ