Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Разберёмся, как связаны сторона квадрата и радиус вписанной в него окружности. На рисунке видно, что окружность касается всех сторон квадрата. Это означает, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата. Если обозначить сторону квадрата как $a$, а радиус вписанной окружности как $r$, то получим формулу:
$a = 2r$.

2. Подставим известное значение радиуса $r = 18\sqrt{2}$ в эту формулу, чтобы найти сторону квадрата:
$a = 2 \cdot 18\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$.

3. Теперь найдём диагональ квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю $d$. По теореме Пифагора:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
Отсюда следует известная формула для диагонали квадрата: $d = a\sqrt{2}$.

4. Подставим найденное значение стороны $a = 36\sqrt{2}$ в формулу диагонали:
$d = (36\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$.

5. Выполним вычисления. Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, получаем:
$d = 36 \cdot 2 = 72$.

Ответ: 72

Источник: ФИПИ