Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника. Пусть \(a\) — сторона треугольника, а \(R\) — радиус описанной около него окружности.

Шаг 1. Вспомним формулу.
Радиус описанной окружности \(R\) для правильного треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле:
\(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\)

Эту формулу можно вывести из теоремы синусов: \(\frac{a}{\sin(60^{\circ})} = 2R\). Так как \(\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(2R = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\), откуда \(2R = \frac{2a}{\sqrt{3}}\) и \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Шаг 2. Подставим данные из условия.
По условию задачи сторона треугольника \(a = 16\sqrt{3}\). Подставим это значение в нашу формулу:
\(R = \frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

Шаг 3. Выполним сокращение.
В числителе и знаменателе дроби есть множитель \(\sqrt{3}\). Сократим на него:
\(R = 16\)

Таким образом, радиус описанной окружности равен 16.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ

Задание №16 — Геометрия