Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

1. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника через его сторону $a$:
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

2. Подставим известное значение стороны $a = 16 \sqrt{3}$ в эту формулу, чтобы найти высоту:
$h = \frac{16 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$h = \frac{16 \cdot 3}{2} = \frac{48}{2} = 24$

3. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану (которая также является высотой) в отношении $2:1$, считая от вершины.

4. Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ составляет одну третью часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3} h$

5. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8$

Ответ: 8

Источник: ФИПИ