Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи сначала упростим выражение под корнем, а затем подставим числовые значения переменных.

1. Рассмотрим выражение под знаком корня: $a^{2} + 10ab + 25b^{2}$. Заметим, что оно представляет собой формулу квадрата суммы: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.
В нашем случае:
— первый член это $a^{2}$, то есть $x = a$;
— последний член это $25b^{2} = (5b)^{2}$, то есть $y = 5b$;
— средний член это их удвоенное произведение: $2 \cdot a \cdot 5b = 10ab$, что совпадает с условием.

2. Таким образом, выражение под корнем можно свернуть:
$a^{2} + 10ab + 25b^{2} = (a + 5b)^{2}$.

3. Исходное выражение принимает вид: $\sqrt{(a + 5b)^{2}}$.
По свойству корня $\sqrt{x^{2}} = |x|$, следовательно:
$\sqrt{(a + 5b)^{2}} = |a + 5b|$.

4. Подставим значения $a = 8$ и $b = -2$ в полученный модуль:
$|8 + 5 \cdot (-2)| = |8 - 10| = |-2|$.

5. Так как модуль отрицательного числа равен числу ему противоположному, получаем:
$|-2| = 2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ