Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат с вписанной в него окружностью и проведённой диагональю. Вспомним связь между радиусом вписанной окружности и стороной квадрата. Радиус вписанной окружности $r$ равен половине стороны квадрата $a$, так как диаметр этой окружности в точности равен стороне квадрата:
$a = 2r$.

2. Подставим известное значение радиуса $r = 6 \sqrt{2}$ в формулу, чтобы найти сторону квадрата:
$a = 2 \cdot 6 \sqrt{2} = 12 \sqrt{2}$.

3. Теперь найдём диагональ квадрата $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
Отсюда следует классическая формула диагонали квадрата: $d = a \sqrt{2}$.

4. Подставим найденное значение стороны $a = 12 \sqrt{2}$ в формулу диагонали:
$d = (12 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$.

5. Выполним умножение:
$d = 12 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 12 \cdot 2 = 24$.

Таким образом, диагональ квадрата равна 24.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ