Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Вспомним важное свойство четырехугольника, вписанного в окружность: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Так как трапеция $ABCD$ вписана в окружность, то для её углов выполняется равенство:
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ и $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.

2) Также вспомним свойство любой трапеции: сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$ (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых-основаниях и секущей-боковой стороне). То есть:
$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ и $\angle C + \angle D = 180^{\circ}$.

3) Из этих двух свойств следует, что если трапеция вписана в окружность, то она обязательно является равнобедренной. Это значит, что углы при основаниях равны:
$\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

4) По условию задачи $\angle A = 108^{\circ}$. Так как сумма углов $A$ и $B$, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^{\circ}$, мы можем найти угол $B$:
$\angle B = 180^{\circ} - \angle A$
$\angle B = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$.

Ответ: 72

Источник: ФИПИ