Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольную трапецию, в которую вписана окружность. По определению, окружность касается всех четырёх сторон трапеции: верхнего и нижнего оснований, а также двух боковых сторон.

2. Высота трапеции $h$ — это перпендикуляр, проведённый между её параллельными основаниями. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, поэтому она сама является высотой.

3. Окружность касается верхнего основания в некоторой точке и нижнего основания в некоторой точке. Расстояние между этими точками касания, измеренное по перпендикуляру к основаниям, в точности равно диаметру вписанной окружности $D$.

4. Так как основания трапеции параллельны, диаметр окружности, соединяющий точки касания на основаниях, будет перпендикулярен этим основаниям. Следовательно, высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности:

$h = D = 2 \cdot r$,

где $r$ — радиус вписанной окружности.

5. По условию задачи радиус окружности $r = 30$. Подставим это значение в формулу:

$h = 2 \cdot 30 = 60$.

Таким образом, высота трапеции равна 60.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ