Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами квадратного корня из произведения и степени. Напомним, что корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$ (при условии, что подкоренные выражения не отрицательны).

1. Сначала упростим исходное выражение в общем виде:
$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot x^{2} \cdot y^{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{y^{8}}$.

2. Извлечём корень из каждого множителя:
— $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$, так как $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$;
— $\sqrt{x^{2}} = |x|$. По условию $x = 5$, значит, $\sqrt{5^{2}} = 5$;
— $\sqrt{y^{8}} = y^{4}$, так как при извлечении корня показатель степени делится на 2: $(y^{4})^{2} = y^{8}$.

3. Получаем упрощённое выражение:
$\frac{1}{2} \cdot x \cdot y^{4}$.

4. Подставим значения переменных $x = 5$ и $y = 2$ в полученную формулу:
$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2^{4}$.

5. Выполним вычисления по порядку:
— Возведём 2 в четвёртую степень: $2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$;
— Перемножим числа: $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 16$.
Удобнее сначала умножить $\frac{1}{2}$ на $16$:
$\frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.
Затем результат умножим на 5:
$8 \cdot 5 = 40$.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ