Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника и формулой связи его стороны с радиусом описанной окружности.

1. Вспомним формулу.
Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

2. Подставим данные из условия.
По условию сторона треугольника $a = 4\sqrt{3}$. Подставим это значение в формулу:
$R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

3. Выполним сокращение.
В числителе и знаменателе дроби есть множитель $\sqrt{3}$. Сократим на него:
$R = 4$

Альтернативный способ (через теорему синусов):
По теореме синусов отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности ($2R$). В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$.
$2R = \frac{a}{\sin 60^{\circ}}$
$2R = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$2R = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$
$2R = 8$
$R = 4$

Ответ: 4

Источник: ФИПИ