Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи сначала упростим алгебраическое выражение, используя свойства степеней, а затем подставим значения переменных.

1) Вспомним основные свойства степеней, которые нам понадобятся:
— При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
— При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$.
— При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

2) Упростим числитель выражения. Возведём $b^4$ в третью степень:
$(b^4)^3 = b^{4 \cdot 3} = b^{12}$.
Теперь числитель выглядит так: $a^{14} \cdot b^{12}$.

3) Упростим знаменатель выражения. Возведём произведение $a \cdot b$ в 12-ю степень:
$(a \cdot b)^{12} = a^{12} \cdot b^{12}$.

4) Запишем всё выражение целиком и сократим его:
$\frac{a^{14} \cdot b^{12}}{a^{12} \cdot b^{12}}$.
Заметим, что $b^{12}$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому на него можно сократить (так как $b = \sqrt{3} \neq 0$).
Остаётся: $\frac{a^{14}}{a^{12}}$.

5) Применим правило деления степеней с основанием $a$:
$a^{14 - 12} = a^2$.

6) Теперь подставим в полученное упрощённое выражение значение $a = 3$:
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Заметим, что значение $b = \sqrt{3}$ в данном случае не повлияло на итоговый результат, так как степени переменной $b$ полностью сократились.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ