Задание 16

Окружность и круг · 230 заданий

Задание №16
№16Среднее
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8 √(3). Найдите длину стороны этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 8 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона равностороннего треугольника равна 20 √(3). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 8 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 32 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Сложное
В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг

Задание №16 — Геометрия

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $16 \sqrt{2}$ . Найдите длину стороны этого квадрата.

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат, вписанный в окружность. Важно помнить ключевое свойство: центр окружности, описанной около квадрата, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. При этом диагональ квадрата является диаметром этой окружности.

2. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $d$ — диагональ квадрата. Диаметр окружности в два раза больше радиуса, поэтому:
$d = 2 \cdot R$ .
Подставим известное значение радиуса $R = 16\sqrt{2}$ :
$d = 2 \cdot 16\sqrt{2} = 32\sqrt{2}$ .

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю. Пусть сторона квадрата равна $a$ . По теореме Пифагора:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = d^2$ .
Отсюда выразим сторону квадрата через диагональ:
$a\sqrt{2} = d$ , следовательно, $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$ .

4. Подставим найденное значение диагонали $d = 32\sqrt{2}$ в формулу для стороны:
$a = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .
Корни в числителе и знаменателе сокращаются, и мы получаем:
$a = 32$ .

Ответ: 32

Источник: ФИПИ