Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат, вписанный в окружность. Важно помнить ключевое свойство: центр окружности, описанной около квадрата, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. При этом диагональ квадрата является диаметром этой окружности.

2. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $d$ — диагональ квадрата. Диаметр окружности в два раза больше радиуса, поэтому:
$d = 2 \cdot R$.
Подставим известное значение радиуса $R = 16\sqrt{2}$:
$d = 2 \cdot 16\sqrt{2} = 32\sqrt{2}$.

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю. Пусть сторона квадрата равна $a$. По теореме Пифагора:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = d^2$.
Отсюда выразим сторону квадрата через диагональ:
$a\sqrt{2} = d$, следовательно, $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

4. Подставим найденное значение диагонали $d = 32\sqrt{2}$ в формулу для стороны:
$a = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
Корни в числителе и знаменателе сокращаются, и мы получаем:
$a = 32$.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ