Задание №17 — Геометрия

Решение.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее основание. Проведём две высоты $BH$ и $CK$ из вершин верхнего основания к нижнему.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По условию угол при основании трапеции равен $45^\circ$, значит, $\angle BAH = 45^\circ$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то второй острый угол $\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $ABH$ — равнобедренный, и его катеты равны: $AH = BH = 5$.

2) Трапеция $ABCD$ является равнобедренной, поэтому треугольники $ABH$ и $DCK$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что отрезки при основании также равны: $KD = AH = 5$.

3) Большее основание $AD$ состоит из трёх отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Подставим известные значения: $14 = 5 + HK + 5$. Отсюда находим длину среднего отрезка: $HK = 14 - 5 - 5 = 4$.

4) Четырёхугольник $BHKC$ является прямоугольником (так как $BH$ и $CK$ — высоты, они параллельны и перпендикулярны основаниям). В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит, меньшее основание $BC = HK = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ