Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение под знаком корня. Заметим, что подкоренное выражение $a^{2} + 10ab + 25b^{2}$ представляет собой формулу квадрата суммы: $x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2}$.

2. В нашем случае $x = a$, а $y = 5b$, так как $(5b)^{2} = 25b^{2}$ и удвоенное произведение $2 \cdot a \cdot 5b = 10ab$.
Следовательно: $a^{2} + 10ab + 25b^{2} = (a + 5b)^{2}$.

3. Теперь наше исходное выражение принимает вид: $\sqrt{(a + 5b)^{2}}$.
По свойству корня $\sqrt{x^{2}} = |x|$, значит: $\sqrt{(a + 5b)^{2}} = |a + 5b|$.

4. Подставим данные значения $a = 7 \frac{7}{11}$ и $b = \frac{3}{11}$ в полученное выражение:
Сначала вычислим сумму внутри модуля:
$a + 5b = 7 \frac{7}{11} + 5 \cdot \frac{3}{11}$

5. Выполним умножение: $5 \cdot \frac{3}{11} = \frac{15}{11}$.
Выделим целую часть из дроби $\frac{15}{11}$: это $1 \frac{4}{11}$.

6. Сложим числа:
$7 \frac{7}{11} + 1 \frac{4}{11} = (7 + 1) + (\frac{7}{11} + \frac{4}{11}) = 8 + \frac{11}{11} = 8 + 1 = 9$.

7. Так как число $9$ положительное, то $|9| = 9$.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ