Задание №15 — Геометрия

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся одной из ключевых формул геометрии, связывающей площадь треугольника с его периметром и радиусом вписанной окружности.

Шаг 1. Вспомним формулу площади. Площадь любого многоугольника (в том числе треугольника), в который вписана окружность, можно вычислить по формуле:
$S = p \cdot r$,
где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

Шаг 2. Найдём полупериметр. По условию задачи периметр треугольника $P = 120$. Полупериметр $p$ — это половина периметра:
$p = \frac{P}{2} = \frac{120}{2} = 60$.

Шаг 3. Проанализируем лишние данные. В условии сказано, что одна из сторон треугольника равна $40$. Однако для данной формулы нам достаточно знать только полный периметр и радиус. Значение стороны является избыточным данным, которое не влияет на результат вычисления площади при известном периметре.

Шаг 4. Вычислим площадь. Подставим известные значения в формулу:
$p = 60$
$r = 7$
$S = 60 \cdot 7 = 420$.

Ответ: 420

Источник: ФИПИ