Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним связь между радиусом вписанной окружности и стороной квадрата. Если окружность вписана в квадрат, то её диаметр равен стороне этого квадрата. Следовательно, радиус $r$ равен половине стороны квадрата $a$.
Отсюда выразим сторону квадрата: $a = 2 \cdot r$.

2. Подставим известное значение радиуса $r = 2 \sqrt{2}$ в формулу:
$a = 2 \cdot 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$.

3. Теперь найдём диагональ квадрата $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
Значит, диагональ квадрата в $\sqrt{2}$ раз больше его стороны:
$d = a \sqrt{2}$.

4. Подставим найденное значение стороны $a = 4 \sqrt{2}$ в формулу диагонали:
$d = 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, получаем:
$d = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ