Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат, вписанный в окружность. Вспомним важное геометрическое свойство: центр окружности, описанной около квадрата, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. При этом диагональ квадрата является диаметром этой окружности.

2. Пусть сторона квадрата равна $a$, а его диагональ — $d$. По условию задачи сторона квадрата $a = 18 \sqrt{2}$.

3. Найдём диагональ квадрата $d$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами и диагональю квадрата:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Отсюда $d = a\sqrt{2}$.

4. Подставим известное значение стороны $a$ в формулу диагонали:
$d = 18 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$
$d = 18 \cdot 2 = 36$.

5. Так как диагональ квадрата является диаметром описанной окружности, то радиус $R$ этой окружности равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2}$
$R = \frac{36}{2} = 18$.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ