Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для нахождения площади трапеции нам необходимо знать длины её оснований и высоту. По условию основания равны $a = 3$ и $b = 7$. Нам нужно найти высоту $h$.

1) Проведём две высоты из вершин верхнего основания к нижнему основанию. Обозначим их $h$. Эти высоты отсекают от нижнего основания два равных прямоугольных треугольника (так как трапеция равнобедренная) и прямоугольник посередине.

2) Найдём длину отрезка нижнего основания, который является катетом одного из этих прямоугольных треугольников. В равнобедренной трапеции этот отрезок равен полуразности оснований:
$x = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

3) Рассмотрим один из полученных прямоугольных треугольников. В нём один из острых углов равен $45^\circ$ (по условию). Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Значит, второй острый угол равен:
$90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

4) Так как углы при основании треугольника равны, этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны. Один катет — это отрезок $x = 2$, а второй катет — это высота трапеции $h$. Значит:
$h = x = 2$.

5) Теперь воспользуемся формулой площади трапеции:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.
Подставим известные значения:
$S = \frac{3 + 7}{2} \cdot 2 = \frac{10}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ