Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и формулой его площади.

1. Найдём сторону ромба.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны. По условию задачи $P = 48$.
Следовательно, $a = 48 : 4 = 12$.

2. Выберем формулу для площади ромба.
Площадь ромба можно найти через две его стороны и синус угла между ними. Так как у ромба все стороны равны $a$, формула принимает вид:
$S = a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = a^{2} \cdot \sin(\alpha)$,
где $\alpha$ — угол ромба.

3. Вычислим площадь.
Нам известно, что сторона $a = 12$, а угол $\alpha = 30^{\circ}$.
Вспомним значение синуса: $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ (или $0,5$).
Подставим значения в формулу:
$S = 12^{2} \cdot \sin(30^{\circ})$
$S = 144 \cdot \frac{1}{2}$
$S = 72$.

Альтернативный способ (через высоту):
Если провести высоту ромба $h$ к его основанию, то образуется прямоугольный треугольник, в котором высота лежит против угла $30^{\circ}$. В таком треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы (стороны ромба).
$h = \frac{12}{2} = 6$.
Тогда площадь ромба как параллелограмма: $S = a \cdot h = 12 \cdot 6 = 72$.

Ответ: 72

Источник: ФИПИ