Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть дана трапеция $ABCD$, где основания $BC = 14$ и $AD = 19$. Проведём среднюю линию $MN$, которая соединяет середины боковых сторон $AB$ и $CD$. Проведём диагональ $AC$, которая пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$.

2) Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ является частью средней линии трапеции, а значит, он параллелен основанию $BC$. Так как точка $M$ — середина стороны $AB$, то по теореме Фалеса (или по определению средней линии треугольника) отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.
По свойству средней линии треугольника: $MK = \frac{BC}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

3) Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $KN$ также является частью средней линии трапеции, поэтому он параллелен основанию $AD$. Так как точка $N$ — середина стороны $CD$, то отрезок $KN$ является средней линией треугольника $ACD$.
По свойству средней линии треугольника: $KN = \frac{AD}{2} = \frac{19}{2} = 9{,}5$.

4) Мы получили два отрезка, на которые диагональ делит среднюю линию: $7$ и $9{,}5$. В задаче требуется найти больший из них. Сравнивая значения, видим, что $9{,}5 > 7$.

Ответ: 9,5

Источник: ФИПИ