Задание №15 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи нам понадобится формула, связывающая площадь треугольника, его периметр и радиус вписанной окружности. На рисунке изображён произвольный треугольник с вписанной в него окружностью.

1. Вспомним формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности:
$S = p \cdot r$,
где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

2. Нам известен периметр треугольника $P = 140$. Полупериметр $p$ — это половина периметра. Вычислим его:
$p = \frac{P}{2} = \frac{140}{2} = 70$.

3. По условию задачи радиус вписанной окружности $r = 9$. Также в условии дана длина одной из сторон (56), однако для данной формулы эта информация является избыточной, так как площадь полностью определяется полупериметром и радиусом вписанной окружности.

4. Подставим значения $p = 70$ и $r = 9$ в формулу площади:
$S = 70 \cdot 9$.
$S = 630$.

Таким образом, площадь треугольника равна 630.

Ответ: 630

Источник: ФИПИ